量子複製不可能定理

$$\def\bra#1{\mathinner{\left\langle{#1}\right|}} \def\ket#1{\mathinner{\left|{#1}\right\rangle}} \def\braket#1#2{\mathinner{\left\langle{#1}\middle|#2\right\rangle}} \def\C{\mathbb{C}} \def\Qbit{\C^{\oplus 2}}$$

2つの量子系$A, B$があるとする． 量子計算では，量子系$A$の一般の状態を，$A$の状態を保ったまま$B$にコピーすることは不可能である． これを量子複製不可能定理(no-cloning theorem)という． このことは以下のように簡単に証明できる．

量子複製不可能定理の主張の形式化

量子系$A, B$に対応するヒルベルト空間は どちらも$H := \Qbit = \langle \ket{0}, \ket{1} \rangle$であるとする． このときユニタリ作用素$U$であって， $A$の量子状態を，$A$の状態を保ったまま$B$にコピーするようなものは存在しない． つまり任意の状態$\ket{\phi}_A \in H$について

$$U \ket{\phi}_A \ket{0}_B = \ket{\phi}_A \ket{\phi}_B$$

を満たすものは存在しない．

証明

状態をコピーできるようなユニタリ作用素$U$が存在すると仮定して矛盾を導く． $ \ket{\phi}_A := \alpha \ket{0}_A + \beta \ket{1}_A $ とおいて計算すると

$$\begin{align*} U \ket{\phi}_A \ket{0}_B &= U (\alpha \ket{0}_A + \beta \ket{1}_A) \ket{0}_B \\ &= \alpha U \ket{0}_A \ket{0}_B + \beta U \ket{1}_A \ket{0}_B \\ &= \alpha \ket{0}_A \ket{0}_B + \beta \ket{1}_A \ket{1}_B \end{align*}$$

である． 一方，

$$\begin{align*} U \ket{\phi}_A \ket{0}_B =& \ket{\phi}_A \ket{\phi}_B \\ =& (\alpha \ket{0}_A + \beta \ket{1}_A) (\alpha \ket{0}_B + \beta \ket{1}_B) \\ =& \alpha^2 \ket{0}_A \ket{0}_B + \alpha \beta \ket{0}_A \ket{1}_B \\ & + \beta \alpha \ket{1}_A \ket{0}_B + \beta^2 \ket{1}_A \ket{1}_B \\ \end{align*}$$

も得られるが，明らかにこれら2つの式の右辺は異なる． よって量子状態を複製するようなユニタリ作用素$U$は存在しない．

量子状態の移動

量子複製不可能定理は量子状態のコピーを作ることができないことを主張している． しかし，量子状態を系$A$から系$B$へ（系$A$の状態を破壊して）移動させることは可能である． これは量子テレポーテーションを用いて行うことができる．

参考文献

• 細谷暁夫. 量子コンピュータの基礎 [第2版]. SGCライブラリ Vol. 69, 2009.